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  1. Download the notebook:
    notebook.jl
  2. Run Pluto

    (Also see: How to install Julia and Pluto)

  3. Open the notebook file

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Frontmatter

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Author 1
using PlutoUI
323 ms
PlutoUI.TableOfContents(title="Crecimiento de poblaciones", aside=true)
7.5 ms

Este cuaderno está en construcción y puede ser modificado en el futuro para mejorar su contenido. En caso de comentarios o sugerencias, por favor escribir a labmatecc_bog@unal.edu.co

Tu participación es fundamental para hacer de este curso una experiencia aún mejor.

md"""Este cuaderno está en construcción y puede ser modificado en el futuro para mejorar su contenido. En caso de comentarios o sugerencias, por favor escribir a **labmatecc_bog@unal.edu.co**

Tu participación es fundamental para hacer de este curso una experiencia aún mejor.
"""
724 ms

Elaborado por Juan Galvis, Francisco Gómez y Yessica Trujillo.

md"""Elaborado por Juan Galvis, Francisco Gómez y Yessica Trujillo.
"""
295 μs

Usaremos las siguientes librerías:

md"""Usaremos las siguientes librerías:"""
207 μs
using CalculusWithJulia, Plots, SymPy, Roots
3.5 s

Introducción

md"""
# Introducción"""
12.0 ms

El presente notebook aborda dos modelos diferentes de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) que son comunes en la modelización matemática de fenómenos naturales y sociales: el modelo de crecimiento exponencial y el modelo de crecimiento logístico. Estos modelos son fundamentales para comprender cómo ciertos sistemas evolucionan en el tiempo.

md"""
El presente notebook aborda dos modelos diferentes de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) que son comunes en la modelización matemática de fenómenos naturales y sociales: el modelo de crecimiento exponencial y el modelo de crecimiento logístico. Estos modelos son fundamentales para comprender cómo ciertos sistemas evolucionan en el tiempo."""
316 μs

Las variables simbólicas que se usarán en los ejemplos presentados son las siguientes:

md"""Las variables simbólicas que se usarán en los ejemplos presentados son las siguientes:"""
272 μs
@syms N() t tᵢ r N₀ Nᵢ tₚ K
663 ms

Modelo de crecimiento exponencial

El modelo de crecimiento exponencial describe el crecimiento de una cantidad en función del tiempo, donde la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente en ese momento. Este modelo tiene la siguiente forma:

$$\frac{dN}{dt} =rN, \hspace{0.5cm} N(0)=N_0$$

Donde $N$ representa la cantidad en función del tiempo $t$, $\frac{dN}{dt}$ es la tasa de cambio de la cantidad con respecto al tiempo, $r$ es la tasa de crecimiento si $r>0$ o la tasa de decrecimiento si $r<0$.

md"""# Modelo de crecimiento exponencial

El modelo de crecimiento exponencial describe el crecimiento de una cantidad en función del tiempo, donde la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente en ese momento. Este modelo tiene la siguiente forma:

$\frac{dN}{dt} =rN, \hspace{0.5cm} N(0)=N_0$

Donde $N$ representa la cantidad en función del tiempo $t$, $\frac{dN}{dt}$ es la tasa de cambio de la cantidad con respecto al tiempo, $r$ es la tasa de crecimiento si $r>0$ o la tasa de decrecimiento si $r<0$."""
10.1 ms

Ejemplo:

Supongamos que una población de peces crece de manera exponencial. Un estanque es inicialmente poblado con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1000 peces en el estanque. El propietario permitirá que sus amigos y vecinos pesquen en su estanque una vez que la población de peces alcance los 10,000. ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario?

md"""*Ejemplo:*

Supongamos que una población de peces crece de manera exponencial. Un estanque es inicialmente poblado con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1000 peces en el estanque. El propietario permitirá que sus amigos y vecinos pesquen en su estanque una vez que la población de peces alcance los 10,000. ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario?"""
20.1 ms

Para solucionar dicho problema, primero iniciemos definiendo la ecuación diferencial.

md"""Para solucionar dicho problema, primero iniciemos definiendo la ecuación diferencial."""
289 μs

$$\frac{d}{d t} N{\left(t \right)} = r N{\left(t \right)}$$

begin
D₂ = Differential(t)
eqn₂ = D₂(N)(t) ~ r * N(t)
end
1.2 s

Resolvemos la EDO

md"""Resolvemos la EDO"""
244 μs

$$N{\left(t \right)} = C_{1} e^{r t}$$

solution = dsolve(eqn₂)
146 ms

Luego, resolvemos el problema de valor inicial de manera general, es decir, $N(0)=N_0$.

md"""Luego, resolvemos el problema de valor inicial de manera general, es decir, $N(0)=N_0$."""
241 μs

$$N₀ e^{r t}$$

begin
eq₂ = rhs(solution)
C1₂ = first(setdiff(free_symbols(eq₂), (t,r)))
c1₂ = solve(eq₂(t=>0) - N₀, C1₂) #N(0)=N₀
eq1₂ = eq₂(C1₂ => c1₂[1])
end
519 ms

De la solución anterior, no conocemos el valor de $r$. Dado que en cualquier instante de tiempo $t_i$ se tiene que $N(t_i)=N_i$. Así, despejemos $r$.

md"""De la solución anterior, no conocemos el valor de $r$. Dado que en cualquier instante de tiempo $t_i$ se tiene que $N(t_i)=N_i$. Así, despejemos $r$."""
294 μs

$$\frac{\log{\left(\frac{Nᵢ}{N₀} \right)}}{tᵢ}$$

solve(eq1₂(t=>tᵢ) - Nᵢ, r)[1]
78.6 ms

Así la solución del problema es

$$N(t)=N_0e^{\frac{\ln{\left(\frac{N_i}{N_0}\right)}}{t_i}t}$$

Recordemos que $N_0=500$ y el problema nos dice que luego de $6$ meses hay 1000 peces en el estanque, así $t_i=6$ y $N_i=1000$. Esto es

$$N(t)= 500e^{\frac{\ln{\left(\frac{1000}{500}\right)}}{6}t}.$$

Mostremos la solución y los valores mencionados.

md"""Así la solución del problema es

$N(t)=N_0e^{\frac{\ln{\left(\frac{N_i}{N_0}\right)}}{t_i}t}$

Recordemos que $N_0=500$ y el problema nos dice que luego de $6$ meses hay 1000 peces en el estanque, así $t_i=6$ y $N_i=1000$. Esto es

$N(t)= 500e^{\frac{\ln{\left(\frac{1000}{500}\right)}}{6}t}.$

Mostremos la solución y los valores mencionados."""
487 μs
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